Question

如图，直线l₁：y=4x与直线相交于点A，l₂与x轴相交于点B，OC⊥l₂，AD⊥y轴，垂足分别为C、D．动点P以每秒1个单位长度的速度从原点O出发沿线段OC向点C匀速运动，连接DP．设点P的运动时间为t（秒），DP²=S（单位长度²）．
（1）求点A的坐标；
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，DP能否为？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线l₁：y=4x与直线l₂：y=-x+相交于点A，
∴可得方程组：，
解得：，
∴点A的坐标为（，5）；

（2）∵点A的坐标为（，5），
∴D（0，5），
∵OC⊥l₂，直线l₂的斜率为-，
∴直线OC的斜率为，
∴直线OC的解析式为：y=x，
联立直线OC与直线l₂：y=-x+，可得方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为（，），
∴OC==4，
∵OP=t（0≤OP≤OC），
过点P作PE⊥OB于E，
∵tan∠POE=，
∴cos∠POE=，sin∠POE=，
∴P点的坐标为（t，t），
∴DP²=（t-0）²+（t-5）²=t²-6t+25，
∴S与t的函数关系为S=t²-6t+25（0≤t≤4）；

（3）不能；
理由：若DP=4，
则S=DP²=（4）²=32，
即S=t²-6t+25=32，
解得：t=7或t=-1（舍去），
∵0≤t≤4，
∴t=7不符合题意，
∴点P的运动过程中DP不能为4．
分析：（1）由直线l₁：y=4x与直线l₂：y=-x+相交于点A，联立可得方程组：，解此方程组即可求得点A的坐标；
（2）由OC⊥l₂，即可求得直线OC的解析式，由OP=t，即可求得点P的坐标，由两点式，即可求得DP²的值，联立直线OC与直线l₂：y=-x+，即可求得点C的坐标，即可求得OC的长，即可得t的取值范围；
（3）由DP=4与（2）中S与t的函数关系式，可得方程S=t²-6t+25=32，解此方程，又由0≤t≤4，即可判定点P的运动过程中DP不能为4．
点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求一次函数解析式，两点式、函数交点问题以及方程组的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．