Question

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于点B，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）．点P在抛物线上，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边向右作矩形PQMN，且PN=1，设点P的横坐标为m（m＞0，且m≠2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）求矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式．
（3）当矩形PQMN是正方形时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把A（3，0）、B（2，2）两点坐标代入y=ax²+bx，解方程组即可解决．
（2）分两种情形：①0＜m＜2，②m＞2，分别求出矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式即可．
（3）分两种情形列出方程即可解决．

解答 解：（1）把A（3，0）、B（2，2）两点坐标代入y=ax²+bx，
得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{4a+2b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故抛物线所对应的函数表达式为y=-x²+3x．
（2）∵点P在抛物线y=-x²+3x上，
∴可以设P（m，-m²+3m），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，m）．
①当0＜m＜2时，如图1中，

PQ=-m²+3m-m=-m²+2m，
C=2（-m²+2m）+2=-2m²+4m+2．
②当m＞2时，如图2中，

PQ=m-（-m²+3m）=m²-2m，
C=2（m²-2m）+2=2m²-4m+2．
（3）∵矩形PQMN是正方形，
∴PQ=PN=1，
当0＜m＜2时，如图3中，

-m²+2m=1，解得m=1．
当m＞2时，如图4中，

m²-2m=1，解得m=1+$\sqrt{2}$（或1-$\sqrt{2}$不合题意舍弃）．

点评 本题考查二次函数综合题、矩形、正方形的有关性质，学会用待定系数法求二次函数解析式，学会分段讨论的思想，需要正确画出图形，用方程的思想解决问题，是数形结合的好题目，属于中考压轴题．