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【题目】如图,抛物线与两坐标轴相交于点是抛物线的顶点, 是线段的中点.

(1)求抛物线的解析式,并写出点的坐标;

(2) 是抛物线上的动点;

①当时,求的面积的最大值;

②当时,求点的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,D(1,4); (2) ①当x=2时,S最大值=1;F(-,-2-2)或(2-,-2+2

【解析】1)利用待定系数法可求得抛物线的解析式,然后再配方成顶点式即可得点D的坐标;

(2)①由x>1,y>0,可以确定点F是直线BD上方抛物线上的动点,F(x, -x2+2x+3),过点FFHx轴交直线BDM,B、D的坐标易得yBD=-2x+6,继而得M(x,-2x+6),从而得到FM=-(x-2)2+1,再根据SBDF=SDFM+SBFM从而可得SBDF=-(x-2)2+1,根据二次函数的性质即可得;

②分点Fx轴上方抛物线上,点Fx轴下方、y轴左侧抛物线上两种情况进行讨论即可得.

(1)抛物线与两坐标轴相交于点

由题意得:,解得:

所以抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3,

配方得 y=-(x-1)2+4,∴抛物线顶点D的坐标为(1,4);

(2) ①∵x>1,y>0,

∴点F是直线BD上方抛物线上的动点

F(x, -x2+2x+3),

如图,过点FFHx轴交直线BDM,

B(3,0), D(1,4),

yBD=-2x+6,

M(x,-2x+6),

FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1,

SBDF=SDFM+SBFM

SBDF=FM(x-1)+FM(3-x)=FM(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1,

∴当x=2时,S最大值=1;

②如图,当 FEBD,且点Fx轴上方抛物线上时,

FE的解析式为y=-2x+b,

∵直线FE过点E(1,0),

b=2,

yFE=-2x+2,

联立y=-2x+2y=-x2+2x+3,

解得F(2-,-2+2);

如图,当Fx轴下方、y轴左侧抛物线上时,设直线EF与直线BD交于点N,

∵∠AEF=NEB,

又∵∠AEF=DBE,

∴∠NEB=DBE,

NE=NB,

∴点N的横坐标为2,

又∵点N在直线yBD=-2x+6

N(2,2),

yN=2x-2,

联立y=2x-2y=-x2+2x+3,

解得F(-,-2-2),

综上所述F(-,-2-2)或(2-,-2+2).

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