Question

【题目】两个三角板ABC，DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为(cm)，两个三角板重叠部分的面积为 (cm2)．

(1)当点C落在边EF上时，＝________cm；

(2)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

Answer 1

【答案】(1)10;(2)见解析；（3） .

【解析】（1）由锐角三角函数，得到BG的长，进而得出GE的长，又矩形的性质可求解；

（2）分类讨论：①当0≤t＜4时，根据三角形的面积公式可得答案；②当4≤t＜8时，③当时，根据面积的和差求解；

（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，然后根据线段的和差求解.

详解:（1）如图：

作CG⊥AB于G点．

在Rt△ABC中，由AC=4，∠ABC=30，得

BC==4．

在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=6．

四边形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=6+4=10cm，

故答案为：10 .

（2）①当时，如解图

∵∠GDB＝60°，∠GBD＝30°，

∴DB＝x，DG＝x，BG＝x，

重叠部分的面积y＝DG·BG＝×x×x＝x2　　　　　　

②时，如解图

BD＝x，DG＝x，BG＝x，BE＝x－4，

EH＝ (x－4)

重叠部分的面积y＝S△BDG－S△BEH＝DG·BG－BE·EH，

即y＝×x×x－ (x－4)× (x－4)，　　　　　　　　　　　　

化简得：

③当时，如解图

AC＝4，BC＝4，BD＝x，BE＝x－4，

EG＝ (x－4) 　　　

重叠部分的面积y＝S△ABC－S△BEG＝AC·BC－BE·EG，

即y＝×4×4－ (x－4)× (x－4)，

化简得：

综上所述，

（3）