【题目】已知△ABC中,D为AB边上任意一点,DF∥AC交BC于F,AE∥BC,∠CDE=∠ABC=∠ACB=α.
(1)如图1,当α=60°时,求证:△DCE是等边三角形.
(2)如图2.当α=45°时,求证:① =
;②CE⊥DE.
(3)如图3,当α为任意锐角时,请直接写出线段CE与DE的数量关系(用α表示)
【答案】
(1)证明:如图1中,
∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=BA,
∵DF∥AC,
∴∠BFD=∠BCA=60°,∠BDF=∠BAC=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴BF=BD,
∴CF=AD,∠CFD=120°,
∵AE∥BC,
∴∠B+∠DAE=180°,
∴∠DAE=∠CFD=120°,
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE,
∵∠CDE=∠B=60°,
∴∠FCD=∠ADE,
∴△CFD≌△DAE,
∴DC=DE,∵∠CDE=60°,
∴△CDE是等边三角形
(2)证明:①如图2中,作FG⊥AC于G.
∵∠B=∠ACB=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵DF∥AC,
∴∠BDF=∠BAC=90°,
∴∠BFD=45°,∠DFC=135°,
∵AE∥BC,
∴∠BAE+∠B=180°,
∴∠DFC=∠DAE=135°,
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE,
∵∠CDE=∠B=45°,
∴∠FCD=∠ADE,
∴△CFD∽△DAE,
∴ =
,
∵四边形ADFG是矩形,FC= FG,
∴FG=AD,CF= AD,
∴ =
,
②作CE′⊥DE于E′
∵∠CDE=45°,
∴DE′=CDcos45°= CD,
∵DE= CD,
∴点E与点E′重合,
∴CE⊥DE
(3)解:如图3中,设AC与DE交于点O.
∵AE∥BC,
∴∠EAO=∠ACB,
∵∠CDE=∠ACB,
∴∠CDO=∠OAE,∵∠COD=∠EOA,
∴△COD∽△EOA,
∴ =
,
∴ =
,∵∠COE=∠DOA,
∴△COE∽△DOA,
∴∠CEO=∠DAO.
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°,∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∵∠CDE=∠B=∠ACB,
∴∠EDC=∠ECD,
∴EC=ED,
∴ =1.
故答案为1
【解析】(1)要证△DCE是等边三角形,证明△CFD≌△DAE即可;(2)①如图2中,作FG⊥AC于G.只要证出△CFD∽△DAE,推出,再证明CF=
AD即可;②作CE′⊥DE于E′,只要证明点E与点E′重合即可;(3)根据相似三角形的判定及性质证明EC=ED即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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【题目】如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=50°,P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合),则∠BPC 的度数可能是
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
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【题目】如图,已知AB为⊙O直径,D是 的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,⊙O的切线交AD的延长线于F.
(1)求证:直线DE与⊙O相切;
(2)已知DG⊥AB且DE=4,⊙O的半径为5,求tan∠F的值.
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【题目】如图,直径AE平分弦CD,交CD于点G,EF∥CD,交AD的延长线于F,AP⊥AC交CD的延长线于点P.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AC=2,PD= CD,求tan∠P的值.
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【题目】数学活动问题情境:
如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E分别是边AB,AC的中点,将△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°)得到△AD′E′,连接CE′,BD′.探究CE′与BD′的数量关系;
探究发展:
(1)图1中,猜想CE′与BD′的数量关系,并证明;
(2)如图2,若将问题中的条件“D,E分别是边AB,AC的中点”改为“D为AB边上任意一点,DE∥BC交AC于点E“,其他条件不变,(1)中CE′与BD′的数量关系还成立吗?请说明理由;
拓展延伸:
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,点D,E分别在AB,AC上,且DE∥BC,将△ADE绕点A顺时针旋转60°得到△AD′E′,连接CE′,BD′,请你仔细观察,提出一个你最关心的数学问题(例如:CE′与BD′相等吗?).
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【题目】如图1,共顶点的两个三角形△ABC,△AB′C′,若 AB=AB′,AC=AC′,且∠BAC+∠B′AC′=180°,我们称△ABC 与△AB′C′互为“顶补三角形”.
(1)已知△ABC 与△ADE 互为“顶补三角形”,AF 是△ABC 的中线.
①如图 2,若△ADE 为等边三角形时,求证:DE=2AF;
②如图 3,若△ADE 为任意三角形时,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
(2)如图4,四边形 ABCD 中,∠B+∠C=90°.在平面内是否存在点 P,使△PAD 与△PBC 互为“顶补三角形”, 若存在,请画出图形,并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】在下列解题过程的空白处填上适当的内容(推理的理由或数学表达式)如图,已知,
、
分别平分
和
,求证:
.
证明:∵AB//CD,(已知)
∴∠ABC=∠______.(两直线平行,内错角相等)
∵__________.(已知)
∴∠EBC=∠ABC,(角的平分线定义)
同理,∠FCB=______.
∵∠EBC=∠FCB.(等量代换)
∴BE//CF.(____________________)
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【题目】已知点A(a,0),B(0,b),实数a、b满足.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)若点P的坐标是P(-2,x),且,且△PAB的面积为7,求x的值;
(3)如图,过点B作BC∥x轴,Q是x轴上点A左侧的一动点连接QB,BM平分∠QBA,BN平分∠ABC,当点Q运动时直接写出____________.
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