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【题目】数学活动问题情境:

如图1,在ABC中,ABAC,∠BAC90°DE分别是边ABAC的中点,将ADE绕点A顺时针旋转α角(α90°)得到ADE,连接CEBD.探究CEBD的数量关系;

探究发展:

1)图1中,猜想CEBD的数量关系,并证明;

2)如图2,若将问题中的条件DE分别是边ABAC的中点改为DAB边上任意一点,DEBCAC于点E,其他条件不变,(1)中CEBD的数量关系还成立吗?请说明理由;

拓展延伸:

3)如图3,在ABC中,ABAC,∠BAC60°,点DE分别在ABAC上,且DEBC,将ADE绕点A顺时针旋转60°得到ADE,连接CEBD,请你仔细观察,提出一个你最关心的数学问题(例如:CEBD相等吗?).

【答案】解:(1CEBD;(2)结论不变;(3)结论:①DAB≌△EAC,②DDB≌△DEC,③∠BDD=∠CDE,④四边形ADDE是菱形.(答案不唯一)

【解析】

1)如图1中,结论:CE′BD′.只要证明D′AB≌△E′AC即可;

2)结论不变,证明方法类似;

3)结论:①△D′AB≌△E′AC,②△D′DB≌△DEC,③∠BD′D=∠CDE,④四边形AD′DE是菱形.(答案不唯一)

解:(1)如图1中,结论:CEBD

理由:∵ABACADDBAEEC

ADAEADAE,∠DAE=∠BAC90°

∴∠DAB=∠EAC

DABAC中,

∴△DAB≌△EAC

BDCE

2)如图2中,结论不变.

理由:∵ABAC

∴∠ABC=∠ACB

DEBC

∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB

∴∠ADE=∠AED

ADAEADAE,∠DAE=∠BAC90°

∴∠DAB=∠EAC

DABAC中,

∴△DAB≌△EAC

BDCE

3)如图3中,结论:①DAB≌△EAC,②DDB≌△DEC,③∠BDD=∠CDE,④四边形ADDE是菱形.(答案不唯一)

理由:∵△ADEADDABC都是等边三角形,

DAAD,∥DAB=∠DAC60°ABAC

∴△DAB≌△DAC

DDDE,∠DDB=∠DEC120°BDEC

可得DDB≌△DEC

∴∠BDD=∠CDE

ADDDDEAE

∴四边形ADDE是菱形.

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