Question

【题目】如图，已知在△ABC中，点D在AB上，BD＝CD＝3，AD＝2，∠ACB＝60°，那么AC的长等于_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如图，过点A作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，则DF∥AE，设EC＝x，BF＝y，分别用x和y表示出AC、AE、BF、CF和BE，再由DF∥AE，判定△BDF∽△BAE，然后利用相似三角形的性质得出比例式，解得用x表示的BE，在Rt△AEB中，AB＝5，AE＝x，BE＝5x，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，则可求得AC的值．

解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，则DF∥AE，

∵∠ACB＝60°，

∴∠CAE＝30°，

设EC＝x，则AC＝2x，AE＝x，

设BF＝y，

∵BD＝CD，DF⊥BC，

∴BF＝CF＝y，

∴BE＝2y﹣x，

∵DF∥AE，

∴△BDF∽△BAE，

∴＝，

∵BD＝CD＝3，AD＝2，

∴＝＝，

∴＝

∴y＝3x，

∴BE＝2×3x﹣x＝5x，

∴在Rt△AEB中，AB＝5，AE＝x，BE＝5x，

∴由勾股定理得：BE2+AE2＝AB2，

∴25x2+3x2＝25，

∴x2＝，

∵x＞0，

∴x＝，

∴AC＝2x＝．

故答案为：．