Question

【题目】已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．

（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是　 　，位置关系是　 　；

（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3，请直接写出CF的长．

Answer 1

【答案】（1）CF＝DF，CF⊥DF；（2）成立，证明见解析；（3）．

【解析】

（1）如图1中，结论：CF＝DF，CF⊥DF．利用直角三角形的斜边中线的性质即可解决问题．

（2）成立．如图2中，延长DF交AC于H．证明△AFH≌△EFD（ASA），即可解决问题．

（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．证明△AFH≌△EFD（ASA），推出DF＝FH，AH＝DE＝DB，再证明△CAH≌△CBD（SAS），即可解决问题．

解：（1）结论：CF＝DF，CF⊥DF．

理由：如图1中，

∵∠ACE＝ADE＝90°，AF＝FE，

∴CF＝AF＝FE＝AE，DF＝AF＝FE＝AE，

∴CF＝DF，

∴∠FAC＝∠FCA，∠FAD＝∠FDA，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝45°，

∵∠CFE＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，∠EFD＝∠FAD+∠FDA＝2∠FAD，

∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2（∠FAC+∠FAD）＝2∠CAD＝90°，

∴CF⊥DF．

故答案为：CF＝DF，CF⊥DF．

（2）成立．

理由：如图2中，延长DF交AC于H．

∵∠ACD＝∠BDE＝∠CDE＝90°，

∴AC∥DE，

∴∠FED＝∠FAH，

∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE，

∴△AFH≌△EFD（ASA），

∴DF＝FH，

∵∠HCD＝90°，

∴CF＝FH＝FD，CF⊥DF．

（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．

∵∠ABD＝∠CDE＝90°，

∴DE∥AB，

∴∠FED＝∠FAH，

∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE，

∴△AFH≌△EFD（ASA），

∴DF＝FH，AH＝DE＝DB，

∵∠CAH＝∠CBA＝∠CBD＝45°，CA＝CB，

∴△CAH≌△CBD（SAS），

∴CH＝CD，∠ACH＝∠BCD，

∴∠HCD＝∠ACB＝90°，∵FH＝FD，

∴CF⊥DF，CF＝FH＝DF．

∵AC＝CB＝3，

∴AB＝AC＝6，

∵AH＝BD＝2，

∴BH＝6﹣2＝4，

在Rt△BDH中，DH＝＝2，

∴CF＝DF＝FH＝．