Question

【题目】如图1，射线OB与直线AN垂直于点O，线段OP在∠AOB内，一块三角板的直角顶点与点P重合，两条直角边分别与AN、OB的交于点C、D．

（1）当∠POB=60°，∠OPC=30°，PC=2时，则PD= ．

（2）若∠POB=45°，

①当PC与PO重合时，PC和PD之间的数量关系是 ；

②当PC与PO不重合时，猜想PC与PD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）①PC=PD；②PC=PD

【解析】(1)、作PE⊥AN于E，根据Rt△ECP的性质得出EP的长度，然后根据Rt△OPE的性质求出OP的长度，最后根据等边三角形的性质得出答案；(2)、根据题意得出△PCD为等腰直角三角形，从而得出答案；作PE⊥AN于E，PF⊥OB于F，根据矩形的性质以及角平分线的性质得出△EPC和△FPD全等，从而得出答案．

(1)、作PE⊥AN于E，∵∠POB=60°，OB⊥AN，∴∠AOP=30°，又∠OPC=30°，

∴∠ECP=60°，∴EP=PCsin∠ECP=，∴OP=2EP=2，∵∠POB=60°，∠OPD=60°，

∴△POD是等边三角形，∴PD=PO=2；

(2)、①当∠POB=45°时，∵三角板的直角顶点与点P重合，

∴PC与PO重合时，△PCD为等腰直角三角形， ∴PC=PD，

②PC=PD，理由如下：作PE⊥AN于E，PF⊥OB于F，∵AN⊥OB，PE⊥AN，PF⊥OB，

∴四边形EOFP为矩形，∴∠EPF=90°，∴∠EPC=∠FPD，∵∠POB=45°，∴∠POA=45°，

∴OP平分∠EOF，又PE⊥AN，PF⊥OB，∴PE=PF，

在△EPC和△FPD中，， ∴△EPC≌△FPD， ∴PC=PD．