Question

【题目】已知：如图，在等边中，，且交外角平分线于点.

（1）当点为中点时，试说明与的数量关系；

（2）当点不是中点时，试说明与的数量关系.

Answer 1

【答案】（1），见解析.（2），见解析.

【解析】

（1）AD=DE．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）AD=DE．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；

（1）结论：AD=DE，理由如下：
如图: 过点D作DF∥AC，交AB于点F，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD与△EDC中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（2）结论：AD=DE；理由如下：
如图2，过点D作DF∥AC，交AB于点F，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE.