【题目】小刘同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,在中,
,
,
;在
中,
,
,
.图①是小刘同学所做的一个数学探究:他将
的直角边
与
的斜边
重合在一起,并将
沿
方向移动.在移动过程中,
、
两点始终在
边上(移动开始时点
与点
重合).
(1)在沿
方向移动的过程中,小刘发现:
、
两点间的距离逐渐 ;连接
后,
的度数逐渐 .(填“不变”、“变大”或“变小”);
(2)小刘同学经过进一步地研究,编制了如下问题:
问题①:如图②,当、
的连线与
平行时,求平移距离
的长;
问题②:如图③,在的移动过程中,
的值是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1)变小;变大;(2)问题①:时,
; 问题②:
的值为定值.
. 理由见解析.
【解析】
(1)根据题意,观察图形,即可得解.
(2)①因为∠B=90°,∠A=30°,BC=6,所以AC=12,又因为∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4,所以DF=4,连接FC,设FC∥AB,则可求证∠FCD=∠A=30°,故AD的长可求;
②连接BD、BE,作BH⊥AC于H,根据正弦的概念求出BH的长,求出△BDE的面积,根据S△ADB+S△CEB=△ABC的面积-△BDE的面积计算即可.
(1)变小;变大;
(2)问题①;当时,
,
∴在中,
,
∵在中,
,
∴
∴,
∴时,
;
问题②:的值为定值.
.
理由如下:
如图2,作于
,
∵,
,
,
∴
∴,
∴的面积为:
,
∴
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【题目】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1cm.温馨提示:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,).
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【题目】阅读材料:求的值.
解:设①,
则②.
用②-①
.即
.
.
以上方法我们称为“错位相减法”,请利用上述材料,解决下列问题:
(一)棋盘摆米
这是一个很著名的故事:阿基米德与国王下棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏,阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒...按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了,结果国王输了.
(1)国际象棋共有64个格子,则在第64格应放 粒米;(用幂表示)
(2)设国王输给阿基米德的米粒数为S,求S.
(二)拓展应用:计算:.
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【题目】根据下面的情景,回答问题:
小王逛超市看到如下两个超市的促销信息
备注:假设两家超市相同的标价都一样.
(1)当一次性购买标价总额是400元时,甲、乙超市实际付款分别是多少?
(2)当标价总额是多少时,甲、乙超市实付款一样?
(3)小王两次到乙超市分别购物付款189元和474元,若他只去一次该超市购买同样多的商品,可以节省多少元?
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【题目】已知:反比例函数y=与一次函数y=3x-2的图象相交于点A(2,n),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)直接写出当>3x-2时,x的取值范围.
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【题目】如表:方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程:
序号 | 方程 | 方程的解 |
1 |
| x1=3,x2=4 |
2 |
| x1=4,x2=6 |
3 |
| x1=5,x2=8 |
… | … | … |
(1)若方程﹣
=1(a>b)的解是x1=6,x2=10,则a=_____b=_____.
(2)请写出这列方程中第n个方程:_____ 方程的解:_____.
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【题目】鹅岭公园内的小山坡上有一观景楼AB*(如图),山坡BC的坡度为i=1:2.4,为了测量观景楼AB的高度,小楚在山脚C处测得观景楼顶部A的仰角为45°,然后从山脚C沿山坡CB向上行走26米到达E处,测得观景楼顶部A的仰角为72°,(A、B、C、D、E在同一平面内),则观景楼AB的高度约为( )米.(结果精确到0.1米,参考数据: ,
,
)
A. 15.6米 B. 18.1米 C. 19.2米 D. 22.5米
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【题目】如图,正八边形ABCDEFGH的边长为a,I、J、K、L分别是各自所在边的中点,且四边形IJKL是正方形,则正方形IJKL的边长为________(用含a的代数式表示).
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