Question

在平面直角坐标系中，直线y=

3

x-6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点O为圆心的圆与直线AB切于点C．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）⊙O与y轴交于E、F两点，CH⊥y轴于点H，过H点作任意直线MN（不与y轴重合），交⊙O于点M、N，连接EM、EN，问tan∠EMN•tan∠ENM的值是否变化？若不变化，求其值，若变化，求其变化范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）分别令x和y为0，容易求出A、B两点的坐标；
（2）连接FN，FM，由圆周角定理可知∠EMN=∠NFE，∠ENM=∠MFE，从而表示出tan∠EMN•tan∠ENM，再利用相似得到线段的比相等，所以可以得到其比值为定值．

解答：解：（1）令x=0，y=-6，
令y=0，x=2

3

，
∴A（2

3

，0），B（0，-6）；
（2）连接FN、MF，

∴tan∠EMN=tan∠NFE=

EN

NF

，
tan∠ENM=tan∠MFE=

EM

MF

，
∴tan∠EMN•tan∠ENM=

EN

NF

×

EM

MF

，
∵△ENH∽△MFH，
∴

EN

MF

=

NH

FH

，
∵△MHE∽△FHN，
∴

EM

NF

=

HE

HN

，
∴

EN

NF

×

EM

MF

=

EN

MF

×

EM

NF

=

NH

FH

×

HE

HN

=

HE

FH

（定值），
可求：OH=1.5，EH=4.5，HF=1.5，
∴tan∠EMN•tan∠ENM=

4.5

1.5

=3．

点评：本题主要考查一次函数与相似三角形的综合应用，第二问中注意利用相似找到线段之间的关系是解题的关键．