Question

【题目】如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．

（1）发现：在图1中，，说明理由；

（2）探索：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出的值；

（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DF的中点，若BD⊥CE，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM，只要证明四边形MNDH是矩形，即可解出答案；

（2）如图2中，连接AM、AN，只要证明△BAD∽△MAN，利用相似比即可解出答案；

（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O，由△BAD∽△MAN，推出==sin∠ABC，只要证明△ABC是等腰直角三角形即可解出答案.

（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM．

∵AB=AC，BM=CM，

∴AM⊥BC，

∵△ADE时等边三角形，

∴∠ADE=60°=∠B，

∴DE∥BC，

∵AM⊥BC，

∴AM⊥DE，

∴AM平分线段DE，

∵DN=NE，

∴A、N、M共线，

∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°，

∴四边形MNDH是矩形，

∴MN=DH，

∴==sin60°=；

（2）如图2中，连接AM、AN．

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE，

∴AM⊥BC，AN⊥DE，

∴=sin60°，=sin60°，

∴=，

∵∠MAB=∠DAN=30°，

∴∠BAD=∠MAN，

∴△BAD∽△MAN，

∴==sin60°=．

（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．

∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE，

∴AM⊥BC，AN⊥DE，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠ABC=∠ADE，

∴sin∠ABM=sin∠ADN，

∴=，

∵∠BAM=BAC，∠DAN=∠DAE，

∴∠BAM=∠DAN，

∴∠BAD=∠MAN．

∴△BAD∽△MAN，

∴==sin∠ABC，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵BD⊥CE，

∴∠BHC=90°，

∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH，

∴∠ABD+∠AOB=90°，

∴∠BAO=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴=sin45°=．