【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,BE=1,∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=,过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论:①△ECF的面积为;②△AEG的周长为8;③EG2=DG2+BE2;其中正确的是( )
A.①②③B.①③C.①②D.②③
【答案】C
【解析】
先判断出∠H=90°,进而求出AH=HF=1=BE.进而判断出△EHF≌△CBE(SAS),得出EF=EC,∠HEF=∠BCE,判断出△CEF是等腰直角三角形,再用勾股定理求出EC2=17,即可得出①正确;先判断出四边形APFH是矩形,进而判断出矩形AHFP是正方形,得出AP=PH=AH=1,同理:四边形ABQP是矩形,得出PQ=4,BQ=1,FQ=5,CQ=3,再判断出△FPG∽△FQC,得出,求出PG=,再根据勾股定理求得EG=,即△AEG的周长为8,判断出②正确;先求出DG=,进而求出DG2+BE2=,在求出EG2=≠,判断出③错误,即可得出结论.
解:如图,在正方形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD=4,∠B=∠BAD=90°,
∴∠HAD=90°,
∵HF∥AD,
∴∠H=90°,
∵∠HAF=90°﹣∠DAM=45°,
∴∠AFH=∠HAF.
∵AF=,
∴AH=HF=1=BE.
∴EH=AE+AH=AB﹣BE+AH=4=BC,
∴△EHF≌△CBE(SAS),
∴EF=EC,∠HEF=∠BCE,
∵∠BCE+∠BEC=90°,
∴HEF+∠BEC=90°,
∴∠FEC=90°,
∴△CEF是等腰直角三角形,
在Rt△CBE中,BE=1,BC=4,
∴EC2=BE2+BC2=17,
∴S△ECF=EFEC=EC2=,故①正确:
过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,
∴∠APF=90°=∠H=∠HAD,
∴四边形APFH是矩形,
∵AH=HF,
∴矩形AHFP是正方形,
∴AP=PH=AH=1,
同理:四边形ABQP是矩形,
∴PQ=AB=4,BQ=AP1,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC﹣BQ=3,
∵AD/span>∥BC,
∴△FPG∽△FQC,
∴,
∴,
∴PG=,
∴AG=AP+PG=,
在Rt△EAG中,根据勾股定理得,EG=,
∴△AEG的周长为AG+EG+AE==8,故②正确;
∵AD=4,
∴DG=AD﹣AG=,
∴DG2+BE2=+1=,
∵EG2=()2=≠,
∴EG2≠DG2+BE2,故③错误,
∴正确的有①②,
故选:C.
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【题目】对任意一个两位数m,如果m等于两个正整数的平方和,那么称这个两位数m为“平方和数”,若m=a2+b2(a、b为正整数),记A(m)=ab.例如:29=22+52,29就是一个“平方和数”,则A(29)=2×5=10.
(1)判断25是否是“平方和数”,若是,请计算A(25)的值;若不是,请说明理由;
(2)若k是一个“平方和数”,且A(k)=,求k的值.
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【题目】某校为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间(单位:h),随机调查了该校的部分初中学生.根据调查结果,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的初中学生人数为________,图①中m的值为________;
(2)求统计的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据统计的这部分学生周末参加公益时间的样本数据,若该校共有650名初中学生,估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数.
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【题目】在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中.面积最大的三角形的斜边长是_____.
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【题目】某校团委为了解该校七年级学生最喜欢的课余活动情况,采用随机抽样的方法进行了问卷调查,被调查学生必须从“运动、娱乐、阅读、其他”四项中选择其中的一项,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分,
活动类型 | 频数(人数) | 频率 |
运动 | 20 | |
娱乐 | 40 | |
阅读 | ||
其他 | 0.1 |
根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)在被调查的学生中,最喜欢“运动”的学生人数为 人,最喜欢“娱乐”的学生人数占被调查学生人数的百分比为 %.
(2)本次调查的样本容量是 ,最喜欢“其他”的学生人数为 人.
(3)若该校七年级共有360名学生,试估计最喜欢“阅读”的学生人数.
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【题目】某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%,用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个.
(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元?
(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个,且排球个数不低于篮球个数的3倍,篮球的售价定为每一个100元,排球的售价定为每一个90元.若该批篮球、排球都能卖完,问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.
(1)求证:AE为⊙O的切线.
(2)当BC=8,AC=12时,求⊙O的半径.
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【题目】某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后,4月份用39000元购进单批相同的T恤衫,数量是3月份的2倍,但每件进价涨了10元.
(1)4月份进了这批T恤衫多少件?
(2)4月份,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然后将b件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.
①用含a的代数式表示b;
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)用尺规作∠A的平分线交BC边于点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的基础上,已知∠B=30°,AC=6,则线段AD的长是 .
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