Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
求证：四边形BMDN是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OB=OD，根据两直线平行，内错角相等可得∠OBN=∠ODM，然后利用“角边角”证明△BON和△DOM全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=MD，从而求出四边形BMDN是平行四边形，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得MB=MD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

解答：证明：∵MN是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，∠BON=∠DOM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OBN=∠ODM
在△BON和△DOM中，

∠OBN=∠ODM OB=OD ∠BON=∠DOM=90°

，
∴△BON≌△DOM（ASA），
∴BN=MD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN是BD的垂直平分线，
∴MB=MD，
∴平行四边形BMDN是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，主要利用了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．