Question

已知二次函数y=x²-2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点，求C₁的顶点坐标，并在图中画出C₁的图象．

Answer 1

解：y=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0．
∴函数图象的顶点坐标为（1，0），
或∵与x轴有且只有一个公共点，
∴2²-4m=0，
∴m=1，
∴函数y=x²-2x+1=（x-1）²，
∴函数图象C₁的顶点坐标是（1，0）．
画出二次函数y=x²-2x+m的图象C₁如图所示：
分析：首先可以利用顶点式表示出二次函数的顶点坐标，再利用图象与x轴有且只有一个公共点，则函数图象C₁的顶点的纵坐标为0，故函数图象C₁的顶点坐标为（1，0），代入求得m的值，从而得到二次函数的解析式，再在图中画出C₁的图象．
点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，二次函数y=ax²+bx+c顶点坐标为（-，），对称轴x=-．