Question

【题目】如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是_______．

Answer 1

【答案】﹣

【解析】

连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可．

解：连接AG并延长，交BC于点F，

∵△ABC的重心为G，

∴F为BC的中点，

∴OF⊥BC，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BOF＝60°，

∴∠OBF＝30°，

∴OF＝OB＝1，

∵△ABC的重心为G，

∴AG＝AF，

在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，

∵＝＝，∠FAO＝∠GAE，

∴△AGE∽△AFO，

∴＝，

∴GE＝．

∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，

∴E（，0），

∴DE＝＝，

∴DG的最小值是﹣，

故答案为：﹣．