Question

【题目】（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数

（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.

（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.

【解析】

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，

如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，

∴∠C=90°-23°=67°，

∵MN垂直平分AB，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形，

∴∠BAD=∠ABC=23°，

∴∠ADC=2∠ABC=46°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，

∴∠DAC=∠C，

∴△DAC是等腰三角形，

同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，

图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.

（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，

∵点O是三角形垂直平分线的交点，

∴OA=OB=OC，

∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，

∵AB=AC，∠BAC=45°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴∠BAD=∠CAD=22.5°，

∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，

∴∠OBC=∠OCB=45°.

（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，

∵∠A=30°，PB=PQ，

∴∠ABP=∠A=30°，

∴∠APB=120°，

∵PB=PQ，PQ=CQ，

∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，

∴∠PBQ=2∠C，

∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，

解得：∠C=40°.

②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，

∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，

∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，

∴180°-4∠C+∠C=120°，

解得：∠C=20°，

③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，

∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=（180°-∠C），

∴∠PBQ=（180°-∠C），

∴（180°-∠C）+∠C=120°，

解得：∠C=100°.

④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，

∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,

又∵∠C+∠PBQ=120°，

∴∠C=80°；

⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，

∵∠A=30°，

∴∠APB=（180°-30°）=75°，

∵BP=BQ，PQ=CQ，

∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，

∴∠BQP=2∠C，

∴∠PBQ=180°-4∠C，

∴∠C+180°-4∠C=75°，

解得：∠C=35°.

⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，

∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=（180°-∠C），

∴∠PBC=（180°-∠C），

∴（180°-∠C）+∠C=75°，

解得：∠C=40°.

⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，

∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，

∴∠C=50°；

⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，

∵AB=BP，∠A=30°，

∴∠ABP=∠APB=75°，

又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，

∴3∠C=75°，

∴∠C=25°；

⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，

∵AB=BP，

∴∠BPA=∠A=30°，

∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，

∴2∠C+∠C=30°，

解得：∠C=10°.

⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，

∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，

∴∠C+∠C=30°，

解得：∠C=20°.

综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.