Question

12．如图，AB是⊙O的直径，延长BA到D，使DA=AO，AE垂直于弦AC，垂足为点A，点E在DC上，求S_△AEC：S_△AOC．

Answer 1

分析 作OF⊥AC于F，延长OF交CD于G，证出AE∥OG，得出点G是EC的中点，证出AE是△ODG的中位线，由三角形中位线定理得出AE=$\frac{1}{2}$OG，求出$\frac{AE}{OF}$=$\frac{2}{3}$，即可得出结果．

解答 解：作OF⊥AC于F，延长OF交CD于G，如图所示：
∵OA=OC，
∴F是AC的中点，
∵AE垂直于弦AC，
∴AE∥OG，
∴点G是EC的中点，
∴GF=$\frac{1}{2}$AE，
∵AE∥OG，DA=OA，
∴点E是DG的中点，
∴AE是△ODG的中位线，
∴AE=$\frac{1}{2}$OG，
∴AE=$\frac{1}{2}$（OF+GF）=$\frac{1}{2}$（OF+$\frac{1}{2}$AE），
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{2}{3}$，
∵△AEC的面积=$\frac{1}{2}$AE•AC，△AOC的面积=$\frac{1}{2}$AC•OF，
∴S_△AEC：S_△AOC=$\frac{AE}{OF}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了垂径定理、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线运用三角形中位线定理才能得出结果．