Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长
BE交AC于点F．
（1）证明：BE²=AE•DE；
（2）若$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{DC}$=1，$\frac{AF}{FC}$=2；并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等可证明∠BAE=∠DBE，根据题意可知∠AEB=∠DEB，从而可证明△ABE∽△BDE，由相似三角形的性质可证明BE²=AE•DE；
（2）过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由题意可知BE∥CG，故此△BDE∽△CDG，由BD=CD，可知DE=DG，设AB=2λ，则BD=λ，依据锐角三角函数的定义可求得AE=$\frac{4\sqrt{5}λ}{5}$，AD=$\sqrt{5}λ$，从而可求得DE=DG=$\frac{\sqrt{5}}{5}λ$，故此EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ，由EF∥CG，可知：$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EG}=\frac{2}{1}$．

解答 解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED=90°．
∴∠BAE+ABE=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABE=90°．
∴∠BAE=∠DBE．
∴△ABE∽△BDE．
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$．
∴BE²=AE•DE．
（2）如图所示：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G．

∵BE⊥AD，CG⊥AD，
∴BE∥CG．
∴△BDE∽△CDG．
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{DG}$．
∵BD=CD，
∴DE=DG．
设AB=2λ，则BD=λ；
∵∠ABD=90°，BE⊥AD，
∴AD=$\sqrt{（2λ）^{2}+{λ}^{2}}$=$\sqrt{5}λ$．
∵cos∠BAD=$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{AE}{2λ}=\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴AE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}λ$．
∴DE=AD-AE=$\sqrt{5}λ-\frac{4\sqrt{5}}{5}λ$=$\frac{\sqrt{5}}{5}λ$．
∴EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}λ$．
∵EF∥CG，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EG}=\frac{2}{1}$=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．