Question

如图1，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，且OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过C、O两点作⊙H交x轴于另一点D，交直线BC于另一点E，已知F（1.5，-1.5）（F与H不重合）．求：

FH

DE

的值；
（3）如图2，若抛物线上有一点P，连PC交线段BM于Q点，且S_△BPQ=S_△CMQ，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,面积及等积变换,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,三角形中位线定理,圆内接四边形的性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）易求出点A、B的坐标、OB、OC的长，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）易得点F是CB的中点，根据三角形中位线定理可得HF=

1

2

DB，根据圆内接四边形的性质可得∠DEB=∠COD=90°，在Rt△DEB中根据三角函数的定义可得DE=

2

2

DB，就可求出

FH

DE

的值；
（3）运用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-3，由S_△BPQ=S_△CMQ可得S_△PBC=S_△MBC，从而可得MP∥BC，故直线MP的解析式可设为y=x+n，然后只需求出抛物线y=x²-2x-3的顶点M的坐标，就可得到直线MP的解析式为y=x-5，然后联立

y=x-5 y=x2-2x-3

，就可求出点P的坐标．

解答：解：（1）令y=0，得：mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）、，B（3，0）、OB=3．
∵OC=OB=3，点C在y轴的负半轴上，
∴C（0，-3），
∴-3m=-3，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图1，
∵F（1.5，-1.5），B（3，0），C（0，-3），
∴点F为BC的中点．
∵点H为DC的中点，
∴FH=

1

2

DB．
∵OC=OB，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
根据圆内接四边形的性质可得：∠DEB=∠COD=90°．
在Rt△DEB中，
DE=DB•sin∠DBE=

2

2

DB，
∴

FH

DE

=

1 2 DB

2 2 DB

=

2

2

．

（3）如图2，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有

3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
∵S_△BPQ=S_△CMQ，
∴S_△BPQ+S_△BCQ=S_△CMQ+S_△BCQ，
∴S_△PBC=S_△MBC，
∴MP∥BC，
∴直线MP的解析式可设为y=x+n．
∵抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4的顶点M的坐标为（1，-4），
∴1+n=-4，
∴n=-5，
∴直线MP的解析式为y=x-5．
联立

y=x-5 y=x2-2x-3

，
解得：

x=1 y=-4

（舍去），或

x=2 y=-3

，
∴点P的坐标为（2，-3）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、圆内接四边形的性质、三角函数、三角形中位线定理、等积变换、解方程组等知识，有一定的综合性，找到FH、DE与DB之间的关系是解决第（2）小题的关键，由S_△BPQ=S_△CMQ推出MP∥BC是解决第（3）小题的关键．