如图.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.△ABC的顶点A.B.C在坐标轴上.∠ACB=90°.∠BAC=60°.AB=8．①求直线AC的解析式,②点P为射线AC上的任意一点.过P作PQ∥x轴交直线BC于点Q.若点P的横坐标为t.线段PQ的长为d.请用含t的式子表示d,③在②的条件下.当PA=$\frac{5}{6}$d时.点E是线段CQ上一点.连接OE.BP.若OE=PB.探究∠APB与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A、B、C在坐标轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8．
①求直线AC的解析式；
②点P为射线AC上的任意一点，过P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d（d≠0），请用含t的式子表示d；
③在②的条件下，当PA=$\frac{5}{6}$d时，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE=PB，探究∠APB与∠OEB之间的数量关系，并证明你的结论．

分析 ①根据直角三角形的性质求得A和C的坐标，然后利用待定系数法求解；
②分成P在线段AC上和在AC的延长线上两种情况进行讨论，求得P和Q的坐标，则d即可利用t表示；
③根据②的结果以及PA=$\frac{5}{6}$d即可求得t的值，然后证明△EMO≌△BCP，即可解答．

解答解：①∵直角△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
又∵直角△AOC中，∠ACO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
则OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
则A的坐标是（-2，0），C的坐标是（0，2$\sqrt{3}$），
设AC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$；
②OB=AB-OA=8-2=6，则B的坐标是（6，0），
设BC的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-6m+n=0}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则BC的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$．
当-2＜t≤0时，如图1，
把x=t代入y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$得，
y=$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$，
则P的坐标是（t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
把y=$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
得：$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
解得：x=-3t，
即Q的坐标是（-3t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
则d=-3t-t=-4t；
当t＞0时，如图2，同理求得P的坐标是（t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
Q的坐标是（-3t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
则d=t-（-3t）=4t；
③当-2＜t≤0时，PA=2（t+2），则2（t+2）=$\frac{5}{6}$（-4t），解得t=-$\frac{1}{4}$，
OE＜OB＜BC＜BP，不满足条件；当P在线段AC的延长线上，由②可得AP=4+2t，由PA=$\frac{5}{6}$d得4+2t=$\frac{5}{6}$×4t，
解得：t=3．
∠APB=30°+∠OEB，
理由是：BH=3，DH=5$\sqrt{3}$，PB²=9+75=84，
AP=10，PC=6，BC=4$\sqrt{3}$，
设EM=$\sqrt{3}$x，BM=3x，（$\sqrt{3}$x）²+（3x-6）²=84，解得：x=4，
∴EM=4$\sqrt{3}$，OM=12-6=6，
在△EMO和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=BC}\\{∠EMO=∠PCB}\\{OM=PC}\end{array}\right.$，
∴△EMO≌△BCP，
∴∠MOE=∠CPB=∠OBE+∠OEB，
∴∠APB=30°+∠OEB．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式以及全等三角形的判定与性质，正确证明△EMO≌△BCP是关键．

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