Question

4．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，将Rt△ABC绕点B顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），得到Rt△A′BC′，直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图①，当点C′在AB边上时，判断线段AD和A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图①的位置旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图①的位置按顺时针方向旋转，当A、C′、A′三点在一条直线上时，请画出示意图，并写出旋转角的度数．

Answer 1

分析 （1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．
（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．

解答 解：（1）AD=A′D．
证明：如图1，
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′，
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形，
∴∠BAA′=∠BC′C=60°，
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°，
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°，
∴∠DA′C′=30°，
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′，
∴AD=DC′，DC′=DA′，
∴AD=A′D；
（2）仍然成立：AD=A′D，
证法一：利用相似．如图2-1：
由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′，
∵∠1=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABA′），∠3=$\frac{1}{2}$（180°-∠CBC′），
∴∠1=∠3，
设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC，
∴△BOC∽△DOA，
∴∠2=∠4，$\frac{OB}{OD}$=$\frac{OC}{OA}$，
连接BD，
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴∠5=∠6，
∵∠ACB=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°，
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D，
证法二：利用全等．如图2-2：
过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3，
由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，
∴∠4=∠5，
∵∠ACB=∠A′C′B=90°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠6，
∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′，
在△ADE与△A′DC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AE=A′C′}\\{∠E=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△A′DC′（ASA），
∴AD=A′D；
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，
则有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°，
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC′}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），
∴∠ABC=∠ABC′=60°，
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．