Question

12．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4cm，则：
（1）AB=2$\sqrt{6}$cm；
（2）BC=2$\sqrt{3}+2$cm；
（3）S_△ABC=2$\sqrt{3}+6$cm²．

Answer 1

分析 作辅助线AD⊥BC交BC于点D，由△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4cm，可以求得AD、DC、DB、AB的长，从而可以解答本题．

解答 解：如下图所示：作AD⊥BC交BC于点D，

∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
∵∠B=45°，∠C=60°，AC=4cm，sinC=$\frac{AD}{AC}$，cosC=$\frac{CD}{AC}$，
∴∠B=∠BAD=45°，AD=2$\sqrt{3}$，CD=2．
∴AD=BD=2$\sqrt{3}$．
∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，∠B=45°，AD=2$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{3}$，CD=2，
∴AB=2$\sqrt{6}$，BC=BD+CD=2$\sqrt{3}+2$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{BC×AD}{2}$=$\frac{（2\sqrt{3}+2）×2\sqrt{3}}{2}=6+2\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$；2$\sqrt{3}+2$；2$\sqrt{3}+6$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造出合适的直角三角形．