Question

7．已知抛物线y=x²+bx+c过点（1，-5），（0，-10）．
（1）抛抛物线的表达式；
（2）如果点P（m，m）在抛物线上．则点P称为这条抛物线的“固定点”
①求出这条抛物线上所有的“固定点“的坐标；
②将抛物线向上平移k个单位后，抛物线上恰好只有一个“固定点“，求k的值．

Answer 1

分析 （1）把两已知点的坐标代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=-5}\\{c=-10}\end{array}\right.$，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）①利用二次函数图象上点的坐标特征，把P（m，m）代入（1）中的解析式得m²+4m-10=m，解此方程得m₁=-5，m₂=2，于是得到这条抛物线上“固定点”的坐标为（-5，-5），（2，2）；
②利用抛物线平移的规律，抛物线向上平移k个单位后所得抛物线解析式为y=x²+4x-10+k，再把P（m，m）代入后整理得m²+3m-10+k=0，根据题意，此方程有两个相等的实数解，于是利用根的判别式的意义得△=3²-4（-10+k）=0，然后解此方程即可得到k的值．

解答 解：（1）把（1，-5），（0，-10）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=-5}\\{c=-10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-10}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²+4x-10；
（2）①把P（m，m）代入y=x²+4x-10得m²+4m-10=m，
整理得m²+3m-10=0，解得m₁=-5，m₂=2，
所以这条抛物线上所有“固定点”的坐标为（-5，-5），（2，2）；
②抛物线向上平移k个单位后所得抛物线解析式为y=x²+4x-10+k，
把P（m，m）代入得m²+mx-10+k=m，
整理得m²+3m-10+k=0，
因为抛物线上恰好只有一个“固定点”，即此方程有两个相等的实数解，
所以△=3²-4（-10+k）=0，
解得k=$\frac{49}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的几何变换．