Question

2．观察下列各式：
-1×$\frac{1}{2}$=-1+$\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$；
-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$；
…
（1）分别写出第4个等式和第5个等式；
（2）用规律计算（-1×$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$）+（-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$）+…+（-$\frac{1}{2012}$×$\frac{1}{2013}$）+（-$\frac{1}{2013}$×$\frac{1}{2014}$）．

Answer 1

分析 （1）先分别观察等号左右两边的特点，会发现数据是一样的只是左边是乘法计算，右边是加法计算，所以只要找到左边的变化规律，右边变为加法即可．等号左边的3个式子中，分子都是1，而分母分别是连续的整数，把分母分别与式子的序号找到对应关系，如“×”前面的负分数中分子都是1，第1个式子的分母是1，第2个式子的分母是2，第3个式子的分母是3，所以可推出第4个式子的分母是4，第5个式子的分母是5，第n个式子的分母是n，即第n个分数为：-$\frac{1}{n}$，同理可找到“×”后面的分数为$\frac{1}{n+1}$，从而得到第n个式子为：-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$．
（2）根据（1）中的规律把式子变形，中间部分相互抵消，只剩下首项和末项，即可算出答案．

解答 解：（1）观察各个式子可以发现：这3个式子中等号左边的规律：“×”前面的负分数中分子都是1，第1个式子的分母是1，第2个式子的分母是2，第3个式子的分母是3，所以可推出第4个式子的分母是4，第5个式子的分母是5，第n个式子的分母是n；“×”后面的分数中，分子都是1，第1个式子的分母是2，第2个式子的分母是3，第3个式子的分母是4，所以可推出第4个式子的分母是5，第5个式子的分母是6，第n个式子的分母是n+1；这3个式子中等号右边的规律是把等号左边式子中的“×”改为“+”，所以第4个等式为：-$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$，第5个式子为：-$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$；第n个式子为：-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$．
（2）由（1）中的规律“-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$”把式子进行变形可得：
（-1×$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$）+（-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$）+…+（-$\frac{1}{2012}$×$\frac{1}{2013}$）+（-$\frac{1}{2013}$×$\frac{1}{2014}$）
=-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…-$\frac{1}{2012}$+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2013}$+$\frac{1}{2014}$
=1+$\frac{1}{2014}$
=$\frac{2015}{2014}$．

点评 考查了规律型：数字的变化类，此类规律题要分别找到等式左边和右边的规律，寻找不变的量和变化的量，本题中不变的量是分数中的分子1，负号“-”，变化的量是分数中分母，所以要从分母中找到变化的规律，从而找到这个等式的变化规律：-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$．