Question

10．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，现将△ABC绕点B顺时针旋转30°至△DEB，DE交AB于点F，求线段DF的长．

Answer 1

分析 利用特殊锐角三角函数值可求得BC=4，AC=4$\sqrt{3}$，由旋转的性质可知DE=AC=4$\sqrt{3}$，∠EBF=30°，∠E=90°，EB=BC=4，在△EFB中利用特殊锐角三角函数可求得EF的长，最后根据DF=ED-EF求解即可．

解答 解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴∠CBA=60°，CB=4．
∴AC=$\sqrt{3}$CB=4$\sqrt{3}$．
由旋转的性质可知：∠CBE=30°，AC=ED=4$\sqrt{3}$，∠C=∠E=90°．
∴∠EBF=30°．
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}EB$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴DF=DE-EF=$4\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质、特殊锐角三角函数，求得∠E=90°，BE=4，∠EBF=30°是解题的关键．