Question

12．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：△MED为等腰三角形；
（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到MD=$\frac{1}{2}$AB，ME=$\frac{1}{2}$AB，证明结论；
（2）根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，计算即可．

解答 证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，
∴MD=$\frac{1}{2}$AB，
同理ME=$\frac{1}{2}$AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；
（2）∵ME=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理可得：MD=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=∠MAD+∠MDA=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EMD=20°．

点评 本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．