Question

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B是它的一个锐角，若sinB，cosB是关于x的方程4x²-5kx+5k+4=0的两个实数根，则k的值为（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{12}{5}$或-$\frac{4}{5}$
• D． 以上各项都不对，关于k无解

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到sinB+cosB=$\frac{5k}{4}$，sinB•cosB=$\frac{5k+4}{4}$，再利用同角的正余的平方和为1得到sin²B+cos²B=1，则（sinB+cosB）²-2sinB•cosB=1，所以（$\frac{5k}{4}$）²-2•$\frac{5k+4}{4}$=1，解得k₁=$\frac{12}{5}$，k₂=-$\frac{4}{5}$，
然后根据sinB，cosB都是正数可确定k的值．

解答 解：根据题意得sinB+cosB=$\frac{5k}{4}$，sinB•cosB=$\frac{5k+4}{4}$，
∵sin²B+cos²B=1，
∴（sinB+cosB）²-2sinB•cosB=1，
∴（$\frac{5k}{4}$）²-2•$\frac{5k+4}{4}$=1，
整理得25k²-40k-48=0，解得k₁=$\frac{12}{5}$，k₂=-$\frac{4}{5}$，
∵sinB+cosB=$\frac{5k}{4}$＞0，sinB•cosB=$\frac{5k+4}{4}$＞0，
∴k的值为$\frac{12}{5}$．
故选A．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了同角三角函数的关系．