Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC，垂足为E，AF平分∠BAC，交BE于F，点D在AC上，且AD＝AB．

（1）求证：DF＝BF；

（2）求证：∠ADF＝∠C．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由角平分线的性质可得出∠DAF=∠BAF，结合AD=AB、AF=AF，即可证出△ADF≌△ABF（SAS），可得结论．
（2）由△ADF≌△ABF可得出∠ADF=∠ABF，根据三角形内角和定理通过角的计算可得出∠ABF=∠C，进而可得出∠ADF=∠C．

（1）△ADF≌△ABF．

证明：∵AK平分∠CAB，交线段BE于点F，

∴∠DAF＝∠BAF．

在△ADF和△ABF中，

，

∴△ADF≌△ABF（SAS），

∴DF＝BF．

（2）证明：∵△ADF≌△ABF，

∴∠ADF＝∠ABF．

∵∠ABC＝90°，BE⊥AC于点E，

∴∠BAE+∠ABF＝∠BAC+∠C＝90°，

∴∠ABF＝∠C，

∴∠ADF＝∠C．