Question

【题目】（问题提出）在数学“共生课堂”上，某合作小组提出了这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝1，PB＝2，PC＝．你能求出∠APB的度数吗？

（问题解决）（1）李清同学分析题目后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他找到了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP′，易得△P′PB是等边三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPP′＝_________，∠APB＝_________．

（问题类比）（2）同组的祁响同学突然想起曾经解决过的一个问题：如图3，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．求∠APB的度数．请你写出解答过程．

（问题延伸）（3）夏老师留了一个思考题：如图4，若点P是正方形ABCD外一点，PA=，PB=1，PC=．则∠APB的度数．请你写出解答过程．

Answer 1

【答案】（1）60°，150°；（2）∠APB＝135°，见解析；（3）∠APB＝45°，见解析

【解析】

（1）将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，则有，，，，可得是等边三角形，则有，，可证是直角三角形，利用可得答案．

（2）将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则，，，，可得，根据勾股定理得，，可以证得，即是直角三角形，且，

利用可得答案．

（3）将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则，，，，，根据勾股定理得，，可证得，即是直角三角形，且，

利用可得答案．

解：（1）将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，

则有，，，，

∴是等边三角形，

∴，，

∴

∴是直角三角形，

∴，

∴；

（2）如图示，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，

则，，，

，

根据勾股定理得，，

，

，

又，

，

是直角三角形，且，

．

（3）如图示，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．

则，，，

，

根据勾股定理得，，

，

，

又，

，

是直角三角形，且，

．