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【题目】如图,∠A=B=30°PAB中点,线段MV绕点P旋转,且M为射线AC上(不与点d重合)的任意一点,且N为射线BD上(不与点B重合)的一点,设∠BPN=α

1)求证:APM≌△BPN

2)当MN=2BN时,求α的度数;

3)若AB=460°≤α≤90°,直接写出BPN的外心运动路线的长度。

【答案】(1)见解析;(2)30°;(3

【解析】

1)由PAB的中点,可得PA=PB,再由已知中∠A=B=30°,对顶角∠APM=BPN,根据ASA即可判定APM≌△BPN

2)由(1)中结论可知PM=PN,即MN=2PN,由已知MN=2BN,可得BN=PN,根据等边对等角,即α=B=30°

3)当α=60°时,由∠B=30°,可知MNBD,此时BP的中点为BPN的外心,当α=90°时,由∠B=30°,此时BN的中点为BPN的外心,根据三角形中位线定理可得BPN的外心运动路线的长度为PN的一半,即为.

1)证明:∵PAB的中点,∴PA=PB APMBPN中,

∴△APM≌△BPNASA

2)解:由(1)得:APM≌△BPN PM=PN MN=2PN MN=2BN BN=PN α=B=30°

3)解:

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(1)当PEAB,PFBC时,如图1,则的值为   

(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求的值;

(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3,的值是否变化?证明你的结论.

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