Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，P是AD上一动点，O为BD的中点，连接PO并延长，交BC于点Q.

(1) 求证：四边形PBQD是平行四边形

(2) 若AD=6cm,AB=4cm, 点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合），设点P运动时间为t s , 请用含t的代数式表示PD的长，并求出当t为何值时，四边形PBQD是菱形。并求出此时菱形的周长。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】(1) ∵四边形ABCD是矩形

∴AD ∥BC

∴∠PDO=∠QBO （1分）

∵O是BD的中点，∴OB=OD

∵∠POD=∠QOB

∴△POD≌△QOB （2分）

∴ OP=OQ ∴四边形PBQD是平行四边形 （2分）

(2)依题意得，AP=tcm, 则PD=(6-t) cm （1分）

当四边形PBQD是菱形时，有PB=PD=(6-t) cm （1分）

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=90°

在Rt△ABP中， AB=4

∴解得 （3分）

所以运动的时间为时，四边形PBQD是菱形。（1分）

∴此时菱形的周长为（cm）