【题目】如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数.
【答案】(1)见解析 (2)30°
【解析】分析:(1)连结OB,如图,由CE=CB得到∠CBE=∠CEB,由CD⊥OA得到∠DAE+∠AED=90°,利用对顶角相等得∠CEB=∠AED,则∠DAE+∠CBE=90°,加上∠OAB=∠OBA,所以∠OBA+∠CBE=90°,然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线;
(2)连结OF,OF交AB于H,如图,由DF⊥OA,AD=OD,根据等腰三角形的判定得FA=FO,而OF=OA,所以△OAF为等边三角形,则∠AOF=60°,于是根据圆周角定理得∠ABF=∠AOF=30°.
详解:(1)证明:连结OB,如图,
∵CE=CB,
∴∠CBE=∠CEB,
∵CD⊥OA,
∴∠DAE+∠AED=90°,
而∠CEB=∠AED,
∴∠DAE+∠CBE=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠OBA+∠CBE=90°,即∠OBC=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:连结OF,OF交AB于H,如图,
∵DF⊥OA,AD=OD,
∴FA=FO,
而OF=OA,
∴△OAF为等边三角形,
∴∠AOF=60°,
∴∠ABF=∠AOF=30°.
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【题目】两根木条,一根长20cm,另一根长24cm,将它们一端重合且放在同一条直线上,此时两根木条的中点之间的距离为( )
A. 2cm B. 4cm C. 2cm或22cm D. 4cm或44cm
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【题目】如图,点A,B,C在一次函数的图象上,它们的横坐标依次为,1,2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是( )
A. 1 B. 3 C. D.
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【题目】在手工制作课上,老师组织七年级(2)班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七年级(2)班共有学生44人,其中男生人数比女生人数少2人,并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.
(1)七年级(2)班有男生、女生各多少人?
(2)要求一个筒身配两个筒底,为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套,应该分配多少名学生剪筒身,多少名学生剪筒底?
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【题目】足球训练中,为了训练球员快速抢断转身,教练设计了折返跑训练.教练在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜,如果约定向西为正,向东为负,练习一组的行驶记录如下(单位:米):+40,-30,+50,-25,+25,-30,+15,-28,+16,-20.
(1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向?距出发点多远?
(2)球员训练过程中,最远处离出发点多远?
(3)球员在一组练习过程中,跑了多少米?
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【题目】某班为参加学校的大课间活动比赛,准备购进一批跳绳,已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元,1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元.
(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元?
(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共50根,并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍,请设计书最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,BE平分∠ABC交AC于点F,交AD于点E,且∠DBF=15°,求证:(1)AO=AE; (2)∠FEO的度数.
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