【题目】如图,在矩形纸片中,,,折叠纸片使点落在边上的处,折痕为.过点作交于,连接.
(1)求证:四边形为菱形;
(2)当点在边上移动时,折痕的端点,也随之移动.
①当点与点重合时(如图),求菱形的边长;
②若限定,分别在边,上移动,求出点在边上移动的最大距离.
【答案】(1)见解析;(2)①菱形BFEP的边长为cm,②点E在边AD上移动的最大距离为2cm.
【解析】
(1)由折叠的性质得出PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF,由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP,证出∠EPF=∠EFP,得出EP=EF,因此BP=BF=EF=EP,即可得出结论;
(2)①由矩形的性质得出BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°,由对称的性质得出CE=BC=5cm,在Rt△CDE中,由勾股定理求出DE=4cm,得出AE=AD-DE=1cm;在Rt△APE中,由勾股定理得出方程,解方程得出EP=cm即可;
②找到E点离A最近和最远的两种情况即可求出点E在边AD上移动的最大距离.当点Q与点C重合时,点E离点A最近,由①知,此时AE=1cm;当点P与点A重合时,点E离点A最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3cm,即可得出答案.
解:(1)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,
∴点B与点E关于PQ对称,
∴PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF.
又∵EF∥AB,
∴∠BPF=∠EFP,
∴∠EPF=∠EFP,
∴EP=EF,
∴BP=BF=FE=EP,
∴四边形BFEP为菱形.
(2)①如图1,
图1
∵四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD=5cm,
CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°.
∵点B与点E关于PQ对称,
∴CE=BC=5cm.
在Rt△CDE中,DE2=CE2-CD2,
即DE2=52-32,
∴DE=4cm,∴AE=AD-DE=5-4=1(cm).
在Rt△APE中,AE=1,AP=3-PB=3-PE,
∴EP2=12+(3-EP)2,解得EP=cm,
∴菱形BFEP的边长为cm.
②当点Q与点C重合时,如图1,点E离A点最近,由①知,此时AE=1cm.
当点P与点A重合时,如图2,
图2
点E离A点最远,此时四边形ABQE为正方形,
AE=AB=3cm,
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线平移至△FEG,DE、FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:四边形CBEG是正方形.
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【题目】如图,点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点,△ABC的面积是20cm.
(1)求△ABD与△BEC的面积;
(2)△AOE与△BOD的面积相等吗?为什么?
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【题目】银泰百货名创优品店购进600个钥匙扣,进价为每个8元,第一周以每个12元的价格售出200个,第二周若按每个12元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售.据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价,单价降低元销售,销售一周后,商店对剩余钥匙扣清仓处理,以每个6元的价格全部售出.
(1)如果这批钥匙扣共获利1050元,那么第二周每个钥匙扣的销售价格为多少元?
(2)这次降价活动,1050元是最高利润吗?若是,说明理由;若不是,求出最高利润.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C出发,以2cm/s的速度沿折线C→A→B向点B运动,同时,点E从点B出发,以1cm/s的速度沿BC边向点C运动,E到C时两点同时停止运动。设点E运动的时间为ts().
(1)AB=__________cm, CE=__________cm;
(2)当△BDE是直角三角形时,求t的值;
(3)若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形,
①设平行四边形CDEF的面积为Scm2,求S于t的关系式;
②是否存在某个时刻t,使□CDEF为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】小明家2015年的四个季度的用电量情况如表1,其中各种电器用电量情况如表2.
表1 | 表2 | |||
季度名称 | 用电量/度 | 电器 | 用电量/度 | |
第一季度 | 250 | 空调 | 250 | |
第二季度 | 150 | 冰箱 | 400 | |
第三季度 | 400 | 彩电 | 150 | |
第四季度 | 200 | 其他 | 100 |
小明根据上面的数据制成如图所示的统计图.
根据以上三幅统计图回答下列问题:
(1)从哪幅统计图中可以看出各季度用电量变化情况?
(2)从哪幅统计图中可以看出冰箱的用电量超过总用电量的?
(3)从哪幅统计图中可以清楚地看出空调的用电量?
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【题目】如图,直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)设点M是x轴上的一个动点,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点P,交直线BC于点Q,连接BM.
①若∠MBC=90°,求点P的坐标;
②若△PQB的面积为,请直接写出点M的坐标.
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