Question

如图，CD∥AB，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，过点E作直线垂直CD于点D，交AB于点A，则下列关系式中成立的有（　　）
①

CD

AD

=

DE

AE

；②

CD

AE

=

DE

AB

；③

CE

DE

=

BE

AB

；④CE²=CD•BC；⑤BE²=AE•BC．

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：如图，作辅助线；首先证明∠BEC=90°；运用勾股定理证明CD=CF，BA=BF；由射影定理证明CE²=CD•BC；BE²=AB•BC，得到④成立，⑤不成立；证明△DCE∽△AEB，得到

CD

AE

=

DE

AB

，

CE

DE

=

BE

AB

，故①不成立，②、③成立．

解答：解：如图，过点E作EF⊥BC于点F；
∵CD∥AB，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=∠FCE（设为α），∠ABE=∠FBE（设为β），
且2α+2β=180°，
∴α+β=90°，∠BEC=180°-90°=90°；
∵AD⊥DC，DC∥AB，
∴AD⊥AB；而CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴ED=EF，EA=EF；由勾股定理得：
CD=CF，BA=BF；由射影定理得：
CE²=CF•BC，BE²=BF•BC，
∴CE²=CD•BC；BE²=AB•BC，
∴④成立，⑤不成立；
∵∠D=∠BEC=90°，
∴∠DCE+∠DEC=∠DEC+∠AEB，
∴∠DCE=∠AEB，而∠D=∠A，
∴△DCE∽△AEB，
∴

CD

AE

=

DE

AB

，

CE

DE

=

BE

AB

，
∴①不成立，②、③成立，
故选B．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、勾股定理、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将分散的条件集中．