Question

如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AB与BC交于点D，线段AD的垂直平分线与线段BC的延长线交于点F．若BD=3，CF=4，则CD=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明△ABF∽△CAF，列出比例式

BF

AF

=

AF

CF

，求出CF即可解决问题．

解答：解：如图，连接AF；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD（设为α）；
∵EF⊥AD，且平分AD，
∴AF=DF，∠ADF=∠DAF（设为β）；
∵∠ACF=∠ADC+∠DAC=α+β，
∠BAF=α+β，
∴∠ACF=∠BAF，而∠ACF=∠ACF，
∴△ABF∽△CAF，
∴

BF

AF

=

AF

CF

①；设DC=λ；
∵BF=7+λ，AF=DF=4+λ，CF=4，
∴代入①式并整理得：λ²+4λ-12=0，
解得：λ=2或-6（舍去）．
故答案为2．

点评：该题主要考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．