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【题目】已知:如图(1),在平面直角坐标系中,点A、点B分別在x轴、y轴的正半轴上,点C在第一象限,∠ACB90°ACBC,点A坐标为(m0),点C横坐标为n,且m2+n22m8n+170

1)分別求出点A、点B、点C的坐标;

2)如图(2),点D为边AB中点,以点D为顶点的直角∠EDF两边分别交边BCE,交边ACF,①求证:DEDF;②求证:S四边形DECFSABC

3)在坐标平面内有点G(点G不与点A重合),使得BCG是以BC为直角边的等腰直角三角形,请直接写出满足条件的点G的坐标.

【答案】(1)点A10),点B07),点C44);(2)①见解析;②见解析;(3)点G(-3,3)或(3,11)或(78

【解析】

(1)由非负性可求m,n的值,由“AAS”可证△BCM≌△ACN,可得CM=CN=4=OM,AN=BM=3,即可求解;

(2)①由等腰直角三角形的性质可得BD=CD=AD,∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°,AB⊥CD,由“AAS”可证△BDE≌△CDF,可得DE=DF;

②由全等三角形的性质可得S△BDE=S△CDF,即可得结论;

(3)分三种情况讨论,由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可求解.

1)如图(1),过点CCMOBCNOA

m2+n22m8n+170

∴(m12+n420

m1n4

∴点A10),CM4

CMOBCNOA,∠AOB90°

∴四边形OMCN是矩形,

∴∠MCN90°=∠ACBCMON4CNOM

AN3,∠MCN-∠MVA=∠ACB-∠MVA

∴∠BCM=∠ACN

ACBC,∠BMC=∠ANC

∴△BCM≌△ACNAAS

CMCN4OMANBM3

∴点B07),点C44);

2)①如图(2),连接CD

ACBC,∠ACB90°,点D为边AB中点,

BDCDAD,∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD45°ABCD

∵∠EDF90°=∠BDC

∴∠EDF-∠EDC=∠BDC-∠EDC

∴∠BDE=∠CDF

BDCD,∠ABC=∠DCA

∴△BDE≌△CDFAAS

DEDF

②∵△BDE≌△CDF

SBDESCDF

SBDE+SEDCSCDF+SEDC

SBDCS四边形EDFC

ADBD

S四边形DECF SABC

3)如图(3),

若∠GBC90°BGBC时,且点GBC下方,过点GGFOB,过点CCEOB

∵∠GBF+EBC90°,∠GBF+BGF90°

∴∠EBC=∠BGF

∵∠BEC=∠BFG90°BGBC

∴△BGF≌△CBEAAS

BFCE4GFBE

OF=OB-BF=7-4=3

∴点G(﹣33),

时,且点BC上方,过点MOB,过点CCEOB

BMCE4

OM=OB+BM=7+4=11

时,点BC上方,过点NEC,过点CCEOB

CNBE3

∴EN=4+3=7

∴点

综上所述:点G(﹣33)或G(3,11)或G(7,8)

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