【题目】已知:如图(1),在平面直角坐标系中,点A、点B分別在x轴、y轴的正半轴上,点C在第一象限,∠ACB=90°,AC=BC,点A坐标为(m,0),点C横坐标为n,且m2+n2﹣2m﹣8n+17=0.
(1)分別求出点A、点B、点C的坐标;
(2)如图(2),点D为边AB中点,以点D为顶点的直角∠EDF两边分别交边BC于E,交边AC于F,①求证:DE=DF;②求证:S四边形DECF=S△ABC;
(3)在坐标平面内有点G(点G不与点A重合),使得△BCG是以BC为直角边的等腰直角三角形,请直接写出满足条件的点G的坐标.
【答案】(1)点A(1,0),点B(0,7),点C(4,4);(2)①见解析;②见解析;(3)点G(-3,3)或(3,11)或(7,8)
【解析】
(1)由非负性可求m,n的值,由“AAS”可证△BCM≌△ACN,可得CM=CN=4=OM,AN=BM=3,即可求解;
(2)①由等腰直角三角形的性质可得BD=CD=AD,∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°,AB⊥CD,由“AAS”可证△BDE≌△CDF,可得DE=DF;
②由全等三角形的性质可得S△BDE=S△CDF,即可得结论;
(3)分三种情况讨论,由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可求解.
(1)如图(1),过点C作CM⊥OB,CN⊥OA,
∵m2+n2﹣2m﹣8n+17=0.
∴(m﹣1)2+(n﹣4)2=0,
∴m=1,n=4,
∴点A(1,0),CM=4,
∵CM⊥OB,CN⊥OA,∠AOB=90°,
∴四边形OMCN是矩形,
∴∠MCN=90°=∠ACB,CM=ON=4,CN=OM,
∴AN=3,∠MCN-∠MVA=∠ACB-∠MVA
∴∠BCM=∠ACN,
∵ AC=BC,∠BMC=∠ANC,
∴△BCM≌△ACN(AAS)
∴CM=CN=4=OM,AN=BM=3,
∴点B(0,7),点C(4,4);
(2)①如图(2),连接CD,
∵AC=BC,∠ACB=90°,点D为边AB中点,
∴BD=CD=AD,∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°,AB⊥CD
∵∠EDF=90°=∠BDC,
∴∠EDF-∠EDC=∠BDC-∠EDC
∴∠BDE=∠CDF,
∵BD=CD,∠ABC=∠DCA,
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DE=DF,
②∵△BDE≌△CDF,
∴S△BDE=S△CDF,
∴S△BDE+S△EDC=S△CDF+S△EDC,
∴S△BDC=S四边形EDFC,
∵AD=BD,
∴
∴S四边形DECF= S△ABC;
(3)如图(3),
若∠GBC=90°,BG=BC时,且点G在BC下方,过点G作GF⊥OB,过点C作CE⊥OB,
∵∠GBF+∠EBC=90°,∠GBF+∠BGF=90°,
∴∠EBC=∠BGF,
∵∠BEC=∠BFG=90°,BG=BC,
∴△BGF≌△CBE(AAS)
∴BF=CE=4,GF=BE,
∴OF=OB-BF=7-4=3,
∴点G(﹣3,3),
若 时,且点在BC上方,过点 作M⊥OB,过点C作CE⊥OB,
∵
∴ ,
∵
∴
∴BM=CE=4, ,
∴OM=OB+BM=7+4=11,
∴ ,
若 , 时,点在BC上方,过点 作N⊥EC,过点C作CE⊥OB,
∵
∴ ,
∵
∴
∴CN=BE=3, ,
∴EN=4+3=7,
∴点
综上所述:点G(﹣3,3)或G(3,11)或G(7,8)
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【题目】如图,在探究三角形的内角和的小组活动中,小颖作如下辅助线:延长△ABC的边BC到D,作CE∥AB,于是小颖得出三角形内角和的证明方法.
(1)求证:∠A+∠B+∠ACB=180°;
(2)如果CE平分∠ACD,AC=5,求BC的长.
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【题目】如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
(3)假若△PAC为直角三角形,直接写出点P坐标。
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,垂足是D,F是BC上一点,EF平分∠AFC,EG⊥AF于点G.
(1)试判断EC与EG,CF与GF是否相等;(直接写出结果,不要求证明)
(2)求证:AG=BC;
(3)若AB=5,AF+BF=6,求EG的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)作出经过点B,圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D,若⊙O的直径为5,BC=4;求DE的长.(如果用尺规作图画不出图形,可画出草图完成(2)问)
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【题目】袋中有个红球,个白球,个黑球,它们除颜色外都相同,小明从中随机摸出一球.下列说法正确的是( )
A. 一定是红球 B. 是红球或白球或黑球的可能性相同
C. 摸到白球的可能性比摸到黑球的可能性大 D. 有可能是红球或白球或黑球
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【题目】、两组卡片共张,中三张分别写有数字,,,中两张分别写有,.它们除了数字外没有任何区别.
随机地从中抽取一张,求抽到数字为的概率;
随机地分别从、中各抽取一张,请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果,现制定这样一个游戏规则:若选出的两数之积为的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?
如果不公平请你修改游戏规则使游戏规则对甲乙双方公平.
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【题目】如图,已知:AB为⊙O的弦(非直径),E为AB的中点,EO的延长线与⊙O相交于C,CM∥AB,BO的延长线与⊙O相交于F,与CM相交于D.
①求证:EC⊥CD;
②当EO:OC=1:3,CD=4时,求⊙O的半径.
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【题目】如图,直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为(2,1),(﹣1,3),(﹣3,2).
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′,并写出点A′的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C′的坐标为 ;
(2)求△ABC的面积;
(3)若点P(a,a﹣2)与点Q关于y轴对称,若PQ=8,求点P的坐标.
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