Question

【题目】如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）假若△PAC为直角三角形，直接写出点P坐标。

Answer 1

【答案】（1）y=2x2-8x+6（2）存在， （3）（3，5）

【解析】

（1）已知B（4，m）在直线y＝x＋2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过待定系数法即可求得解析式；

（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，化成顶点式即可；

（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．

（1）∵B（4，m）在直线y＝x＋2上，

∴m＝4＋2＝6，

∴B（4，6），

∵A（，），B（4，6）在抛物线y＝ax2＋bx＋6上，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝2x28x＋6；

（2）设动点P的坐标为（n，n＋2），则C点的坐标为（n，2n28n＋6），

∴PC＝（n＋2）（2n28n＋6）＝2n2＋9n4＝2（n）2＋，

∵PC＞0，

∴当n＝时，线段PC最大且为；

（3）∵△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°．

由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；

ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°．

如图1，

过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON＝，AN＝，

过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，

则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，

∴MN＝AN＝，

∴OM＝ON＋MN＝＋＝3，

∴M（3，0）．

设直线AM的解析式为：y＝kx＋b，

则：，

解得，

∴直线AM的解析式为：y＝x＋3 ①

又抛物线的解析式为：y＝2x28x＋6 ②

联立①②式，解得：x＝3或x＝（与点A重合，舍去）

∴C（3，0），即点C、M点重合；

当x＝3时，y＝x＋2＝5，

∴P1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°．

∵y＝2x28x＋6＝2（x2）22，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2．

如图2，作点A（，））关于对称轴x＝2的对称点C，

则点C在抛物线上，且C（，），

当x＝时，y＝x＋2＝，

∴P2（，）．

∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，

∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．