Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的解析式为：y＝kx+x﹣k+1，若将直线l绕A点旋转．如图所示，当直线l旋转到l1位置时，k＝2且l1与y轴交于点B，与x轴交于点C；当直线l旋转到l2位置时，k＝﹣且l2与y轴交于点D

（1）求点A的坐标；

（2）直接写出B、C、D三点的坐标，连接CD计算△ADC的面积；

（3）已知坐标平面内一点E，其坐标满足条件E（a，a），当点E与点A距离最小时，直接写出a的值．

Answer 1

【答案】（1）A点的坐标为（1，2）；（2）B（0，﹣1）、C（，0）、D（0，），；（3）a＝

【解析】

（1）将k＝2和k＝代入直线的解析式，得到关于x、y的方程组，然后解方程组可求得点A的坐标；

（2）连接DC．先求得点B、C、D的坐标，然后依据S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC求解即可；

（3）过点A作直线y＝x的垂线，垂足为E，过点A作AF∥y轴，过点E作EG⊥AF，垂足为G．先求得AF的值，然后由△AEF为等腰直角三角形，从而可求得点E的坐标，故此可得到a的值．

（1）当k＝2时，y＝3x﹣1，

当k＝﹣时，y＝x+．

解方程组，

得：，

∴A点的坐标为（1，2）．

（2）连接DC．

将x＝0代入y＝3x﹣1得：y＝﹣1，

∴B（0，﹣1）．

将y＝0代入y＝3x﹣1得：3x﹣1＝0，解得：x＝．

∴C（，0）．

将x＝0代入y＝x+得：y＝，

∴D（0，）．

∴BD＝，OC＝．

∴S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC＝××1﹣×．

（3）∵E（a，a），

∴点E在直线y＝x上．

如图所示：过点A作直线y＝x的垂线，垂足为E，过点A作AF∥y轴，过点E作EG⊥AF，垂足为G．

将x＝1代入y＝x得：y＝1，

∴AF＝2﹣1＝1．

∵点E在直线y＝x上，

∴∠AFE＝45°，

∴△AEF为等腰直角三角形．

∵EG⊥AF，

∴AG＝FG＝，

∴E的纵坐标＝1+＝．

∴a＝．