Question

【题目】已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中，，）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数中，，所以就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除的最大的喜马拉雅数记为，能被自然数整除的最小的喜马拉雅数记为．

（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）112221．

【解析】分析：(1)根据喜马拉雅数的定义求出各个数位上的数字之和；(2)根据能被自然数8整除的最小的喜马拉雅数记为的整除的特征，与各数位上的数字的特点求得I(8).

详解：(1)各数位数字之和为：

a＋b＋c＋b＋a＝2a＋2b＋c＝2a＋2b＋(a＋b)＝3(a＋b).

∵a，b是整数，

∴a＋b是整数.

∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除

(2)根据题意得：F(3)＝90909.

I(8)＝＝1263a＋139b－，

∵喜马拉雅数能被8整除，

∴3a＋2b能被8整除.

∵，，，

∴.

∴3a＋2b＝8或16或24.

则I(8)＝21312.

∴F(3)＋I(8)＝90909＋21312＝112221.