Question

【题目】如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

（1）连接OD，根据DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过 △DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，即可得到结论；

（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2=，设OC=r，则BD=BC=，由切割线定理得到AD=，再由平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．

解：（1）连接OD，∵DE∥BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB与△COB中，∵OD=OC，∠1=∠2，OB=OB，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线；

（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2=，设OC=r，则BC=，由（1）证得△DOB≌△COB，∴BD=BC=，由切割线定理得：=2（2+r），∴AD=，∵DE∥BO，∴，∴，∴r=1，∴AO=3．