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【题目】 在矩形ABCD中,AB3AD4,点PAB边上的动点(PAB不重合),将△BCP沿CP翻折,点B的对应点B1在矩形外,PB1ADECB1AD于点F

1)如图1,求证:△APE∽△DFC

2)如图1,如果EFPE,求BP的长;

3)如图2,连接BB′交AD于点QEQQF85,求tanPCB

【答案】1)见解析;(2BP2.43tanPCB.

【解析】

1)由矩形的性质可得∠A=D=ABC=BCD=90°,由余角的性质和对顶角的性质可得∠DFC=APE,即可得结论;
2)由题意可证APE≌△B1FE,可得AE=B1EAP=B1F,即AF=B1P,由折叠的性质可得BP=B1P=aBC=B1C=4,根据勾股定理可求BP的长.
3)由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B=PCB,设EQ=8kQF=5k,可得B1F=5kEF=EQ+QF=13k,由勾股定理可得B1E=12k,由相似三角形的性质可得EH= HQ= ,即可求tanPCB

1)∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD90°

∴∠APE+AEP90°,∠DCF+DFC90°

∵折叠

∴∠ABC=∠PB1C90°

∴∠B1EF+B1FE90°

又∵∠B1EF=∠AEP,∠B1FE=∠DFC

∴∠DFC=∠APE,且∠A=∠D

∴△APE∽△DFC

2)∵PEEF,∠A=∠B190°,∠AEP=∠B1EF

∴△APE≌△B1FEAAS),

AEB1EAPB1F

AE+EFPE+B1E

AFB1P

BPa,则AP3aB1F

∵折叠

BPB1PaBCB1C4

AFaCF4﹣(3a)=a+1

DFADAF4a

RtDFC中,CF2DF2+CD2

∴(a+12=(4a2+9

a2.4

BP2.4

3)∵折叠

BCB1CBPB1P,∠BCP=∠B1CP

CP垂直平分BB1

∴∠B1BC+BCP90°

BCB1C

∴∠B1BC=∠BB1C,且∠BB1C+PB1B90°

∴∠PB1B=∠PCB

∵四边形ABCD是矩形

ADBC

∴∠B1BC=∠B1QF

∴∠B1QF=∠BB1C

QFB1F

EQQF85

∴设EQ8kQF5k

B1F5kEFEQ+QF13k

RtB1EF中,B1E 12k

如图,过点QHQB1E于点H

又∵∠PB1C90°

HQB1F

∴△EHQ∽△EB1F

==

==

EHHQ

B1H

tanPCBtanPB1B

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