【题目】 在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P为AB边上的动点(P与A、B不重合),将△BCP沿CP翻折,点B的对应点B1在矩形外,PB1交AD于E,CB1交AD于点F.
(1)如图1,求证:△APE∽△DFC;
(2)如图1,如果EF=PE,求BP的长;
(3)如图2,连接BB′交AD于点Q,EQ:QF=8:5,求tan∠PCB.
【答案】(1)见解析;(2)BP=2.4;(3)tan∠PCB=.
【解析】
(1)由矩形的性质可得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°,由余角的性质和对顶角的性质可得∠DFC=∠APE,即可得结论;
(2)由题意可证△APE≌△B1FE,可得AE=B1E,AP=B1F,即AF=B1P,由折叠的性质可得BP=B1P=a,BC=B1C=4,根据勾股定理可求BP的长.
(3)由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B=∠PCB,设EQ=8k,QF=5k,可得B1F=5k,EF=EQ+QF=13k,由勾股定理可得B1E=12k,由相似三角形的性质可得EH= ,HQ= ,即可求tan∠PCB.
(1)∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°
∴∠APE+∠AEP=90°,∠DCF+∠DFC=90°,
∵折叠
∴∠ABC=∠PB1C=90°,
∴∠B1EF+∠B1FE=90°,
又∵∠B1EF=∠AEP,∠B1FE=∠DFC,
∴∠DFC=∠APE,且∠A=∠D,
∴△APE∽△DFC
(2)∵PE=EF,∠A=∠B1=90°,∠AEP=∠B1EF,
∴△APE≌△B1FE(AAS),
∴AE=B1E,AP=B1F,
∴AE+EF=PE+B1E,
∴AF=B1P,
设BP=a,则AP=3﹣a=B1F,
∵折叠
∴BP=B1P=a,BC=B1C=4,
∴AF=a,CF=4﹣(3﹣a)=a+1
∴DF=AD﹣AF=4﹣a,
在Rt△DFC中,CF2=DF2+CD2,
∴(a+1)2=(4﹣a)2+9,
∴a=2.4
即BP=2.4
(3)∵折叠
∴BC=B1C,BP=B1P,∠BCP=∠B1CP,
∴CP垂直平分BB1,
∴∠B1BC+∠BCP=90°,
∵BC=B1C,
∴∠B1BC=∠BB1C,且∠BB1C+∠PB1B=90°
∴∠PB1B=∠PCB,
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠B1BC=∠B1QF,
∴∠B1QF=∠BB1C,
∴QF=B1F
∵EQ:QF=8:5,
∴设EQ=8k,QF=5k,
∴B1F=5k,EF=EQ+QF=13k,
在Rt△B1EF中,B1E= =12k,
如图,过点Q作HQ⊥B1E于点H,
又∵∠PB1C=90°,
∴HQ∥B1F
∴△EHQ∽△EB1F,
∴==
∴==
∴EH=,HQ=
∴B1H=
∴tan∠PCB=tan∠PB1B==
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B,C(点B在点C左侧).
(1)求该抛物线的表达式及点B,C的坐标;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,若直线y=kx+b经过点D和点E(﹣1,﹣2),求直线DE的表达式;
(3)在(2)的条件下,已知点P(t,0),过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在x轴下方,直接写出t的取值范围.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,的顶点都在正方形(每个小正方形边长为单位1)网格的格点上.
(1)的形状是 (直接写答案)
(2)画出沿轴翻折后的;
(3)画出绕点顺时针旋转的并求出旋转过程中扫过的面积.(结果保留)
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【题目】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图l,正方形ABCD是一次函数图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数,直接写出它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(3,m)(m<3)在这个反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;
(3)若某函数是二次函数(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(4,5).直接写出所有伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标及相应的抛物线解析式.
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【题目】如图,菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点,点P由点A出发,沿A→B→C→D作匀速运动,到达点D停止,则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
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【题目】为了解某校九年级男生的体能情况,体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试,并对成绩进行了统计,绘制成尚不完整的扇形图和条形图,根据图形信息回答下列问题:
(1)本次抽测的男生有________人,抽测成绩的众数是_________;
(2)请将条形图补充完整;
(3)若规定引体向上6次以上(含6次)为体能达标,则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标?
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,此图象与x轴的交点坐标分别为(﹣1,0)、(3,0).下列说法正确的个数是( )①ac<0;②a+b+c>0;③方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;④当x>1时,y随着x的增大而增大.
A. 1B. 2C. 3D. 4
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