Question

17．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．
（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；
（2）求AB的长；
（3）求∠C的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC，那么弧AB=弧AC，根据圆周角定理即可得出结论．
（2）可通过相似三角形得出线段成比例，然后求长度，（1）中已得出∠ABC=∠ADB，那么三角形ABE，ABE就相似（有一个公共角）．可得出关于AE、AB、AD的关系式，有AE的长，有AD的长，那么就能求出AB的长了．
（3）可从角的度数入手，根据（2）中得出的数据不难求出∠D的度数，也就求出了∠ABD、∠ACB、∠ABC的度数，于是得到结论．

解答 解：（1）△ABE与△ADB相似，
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴弧AB=弧AC．
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB；

（2）解：∵∠ABE=∠ADB，∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$．
∵AE=2，AD=AE+ED=2+4=6，
∴$\frac{2}{AB}=\frac{AB}{6}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$；

（3）解：AC∥BD．理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∵AB=2$\sqrt{3}$，AD=6，
∴在Rt△BAD中，tan∠BDA=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠ACB=∠BDA，
∴tan∠C=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理．三角函数的定义，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键．