Question

【题目】已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE+CF＝EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

【答案】图2成立；图三不成立，新结论为：EF=AE-CF．

【解析】

根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF．同理图2可证明是成立的，图3不成立．

解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS）；

∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE=∠CBF=30°，

∴AE=BE，CF=BF；

∵∠MBN=60°，BE=BF，

∴△BEF为等边三角形；

∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；

图2成立，图3不成立．

证明图2．

延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，

在△BAE和△BCK中，

，

则△BAE≌△BCK，

∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，

∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，

∴∠FBC+∠ABE=60°，

∴∠FBC+∠KBC=60°，

∴∠KBF=∠FBE=60°，

在△KBF和△EBF中，

,

∴△KBF≌△EBF，

∴KF=EF，

∴KC+CF=EF，

即AE+CF=EF．

图3不成立，新结论为EF=AE-CF．

理由：如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，

∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，

∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，

∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，

∵∠MBN=60°，

∴∠GBF=60°，

在△BFG和△BFE中，

，

∴△BFG≌△BFE，（SAS）

∴GF=EF，

∴EF=AE-CF．