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【题目】如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的长.

【答案】
(1)

证明:如图1中 ,连接OC.

∵OA=OC,

∴∠1=∠2,

∵CD是⊙O切线,

∴OC⊥CD,

∴∠DCO=90°,

∴∠3+∠2=90°,

∵AB是直径,

∴∠1+∠B=90°,

∴∠3=∠B


(2)

解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,

∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,

∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,

∴∠CEF=∠CFE=45°,

∴tan∠CFE=tan45°=1.

②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,

∴AB= =5,

∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,

∴△DCA∽△DBC,

= = ,设DC=3k,DB=4k,

∵CD2=DADB,

∴9k2=(4k﹣5)4k,

∴k=

∴CD= ,DB=

∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,

∴△DCE∽△DBF,

,设EC=CF=x,

∴x=

∴CE=


【解析】(1)利用等角的余角相等即可证明.
    (2)①只要证明∠CEF=∠CFE即可.②由△DCA∽△DBC,得 = = = ,设DC=3k,DB=4k,由CD2=DADB,得9k2=(4k﹣5)4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得 = ,设EC=CF=x,列出方程即可解决问题.本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.

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美术

科技

音乐

写作

奥数

人数

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