Question

【题目】如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中 ，连接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵CD是⊙O切线，

∴OC⊥CD，

∴∠DCO=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∵AB是直径，

∴∠1+∠B=90°，

∴∠3=∠B

（2）

解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，

∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，

∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∴tan∠CFE=tan45°=1．

②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，

∴AB= =5，

∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，

∴△DCA∽△DBC，

∴ = = ，设DC=3k，DB=4k，

∵CD2=DADB，

∴9k2=（4k﹣5）4k，

∴k= ，

∴CD= ，DB= ，

∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，

∴△DCE∽△DBF，

∴ ，设EC=CF=x，

∴ ，

∴x= ．

∴CE=

【解析】（1）利用等角的余角相等即可证明．
　　　　（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．②由△DCA∽△DBC，得 = = = ，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DADB，得9k2=（4k﹣5）4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得 = ，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．