【题目】如图,已知⊙O半径为3,直径AB垂直弦CD于E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点D作AF的垂线,垂足为点F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长与圆交于点G,连接EG.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若AD=DP,求的长度;
(3)若tanC,求线段EG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)EG=
【解析】
(1)连接OD,如图1,先证明∠ADO=∠DAF得到OD∥AF,然后根据平行线的性质判断DF⊥OD,然后根据切线的判定定理得到结论;
(2)先证明∠P=∠DAF=∠DAB,然后根据三角形内角和计算出∠P=30°,从而得到∠POD=60°,然后根据弧长公式计算;
(3)如图,连接GD,根据tanC,设GD=
,CD=
,由勾股定理列出方程求出GD 与CD,再由垂径定理得出DE,在Rt△GED中,利用勾股定理即可求出EG的长度.
(1)证明:连接OD,如图1,
∵OA=OD,
∴∠DAB=∠ADO,
∵∠DAF=∠DAB,
∴∠ADO=∠DAF,
∴OD∥AF,
又∵DF⊥AF,
∴DF⊥OD,
∴DF是⊙O的切线;
(2)∵AD=DP
∴∠P=∠DAF=∠DAB,
而∠P+∠DAF+∠DAB=90°,
∴∠P=30°,
∴∠POD=60°,
又∵半径为3,
∴的长度
,
(3)如图,连接GD,
∵CG是直径,半径为3,
∴∠CDG=90°,CG=6,
∵tanC,即
∴设GD=,CD=
(a>0)
在Rt△CGD中,由勾股定理可得:,
即,解得:
或a=-2(舍去)
∴GD=4,CD=,
又∵AB⊥CD,
∴DE=CE=
在Rt△GED中,EG=,
∴EG=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A(﹣4,﹣2),B(m,4),与y轴相交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求点C的坐标及△AOB的面积.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论中:①abc>0;②2a+b=0;③3|a|<2|b|;④b2﹣4ac<0;⑤4a+2b+c>0;⑥a+b≤n(an+b)(n为一切实数),其中正确的是______.
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【题目】为了节省材料,某农户利用一段墙体为一边(墙体的长为10米),用总长为40m的围网围成如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.
(1)求AE:EB的值;
(2)当BE的长为何值时,长方形ABCD的面积达到72m2?
(3)当BE的长为何值时,矩形区域①的面积达到最大值?并求出其最大值.
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【题目】如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3,…是分别以A1,A2,A3,…为直角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点C1(x1,y1),C2(x2,y2),C3(x3,y3),…均在反比例函数y(x>0)的图象上.则y1+y2+…+y20的值为____.
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【题目】有A、B两组卡片共5张,A组的三张分别写有数字2,4,6,B组的两张分别写有3,5.它们除了数字外没有任何区别,
(1)随机从A组抽取一张,求抽到数字为2的概率;
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张,请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则:若选出的两数之积为3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?
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【题目】如图,在钝角△ABC中,AB=3cm,AC=6cm,动点D从点A出发到点B止.动点E从点C出发到点A止.点D运动的速度为1cm/s,点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时.运动的时间是_____.
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【题目】 如图,在11×11的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求A与A1,B与B1,C与C1相对应)
(2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下求出线段AC在旋转中所扫过的面积.(结果保留π)
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