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【题目】直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在射线OP上运动,点B 在射线OM上运动.

1)如图1,已知AEBE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点AB在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,试求出∠AEB的大小.

2)如图2,已知AB不平行CDADBC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,ADBC的延长线交于点F,点AB在运动的过程中,∠F= °DECE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,点AB在运动的过程中,∠CED的大小也不发生变化,其大小为∠CED= °.

3)如图3,延长BAG,已知∠BAOOAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于EF,则∠EAF= ° ;在AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,则∠ABO= °.

【答案】(1)135°;(2)45°,67.5°;(3)60°或45°.

【解析】试题分析:1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AEBE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=OABABE=ABO,由三角形内角和定理即可得出结论;

2)延长ADBC交于点F,根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,进而得出∠OAB+OBA=90°,故∠PAB+MBA=270°,再由ADBC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,可知∠BAD=BAPABC=ABM,由三角形内角和定理可知∠F=45°,再根据DECE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+DCE=112.5°,进而得出结论;

3))由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=BAOEOQ=BOQ,进而得出∠E的度数,由AEAF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°,在AEF中,由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论.

解:(1)AEB的大小不变,

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O,
∴∠AOB=90°

∴∠OAB+OBA=90°

AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,

∴∠BAE=OABABE=ABO

∴∠BAE+ABE=OAB+ABO=45°

∴∠AEB=135°

(2)CED的大小不变.

延长AD、BC交于点F.

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°

∴∠OAB+OBA=90°

∴∠PAB+MBA=270°

AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,

∴∠BAD=BAPABC=ABM

∴∠BAD+ABC=PAB+ABM=135°

∴∠F=45°

∴∠FDC+FCD=135°

∴∠CDA+DCB=225°

DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,

∴∠CDE+DCE=112.5°

∴∠E=67.5°

(3)∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,

∴∠EAO=12BAO,EOQ=12BOQ,

∴∠E=EOQ-EAO=BOQ-BAO=ABO

AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线,

∴∠EAF=90°

AEF中,∵有一个角是另一个角的3倍,故有:

①∠EAF=3E,E=30°ABO=60°

②∠EAF=3F,E=60°ABO=120°(舍去);

③∠F=3E,E=22.5°ABO=45°

④∠E=3F,E=67.5°ABO=135°(舍去).

∴∠ABO60°45°.

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