Question

已知，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD=3，AB=4，BC=6，求△PCD的面积的最小值是多少？

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，可求得OH，过D作DM⊥BC于点M，可求得CD=EF=5，由切线长定理可知AE=EP，BF=PF，可得AE+BF=EF=5，可求得OG=2.5，可求得GH=2，又因为OP=2，且

OP

PQ

=

OG

GH

，可求得PQ=1.6，可求得△PCD的面积，可得出答案．

解答：解：∵CD是定值，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，
过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，
当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，
过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，
则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，
∴OH=

1

2

（AD+BC）=4.5，
过D作DM⊥BC于点M，则DM=AB=4，MC=BC-AD=3，
∴CD=EF=5，
由切线长定理可知AE=EP，BF=PF，
∴AE+BF=EF=5，
∴OG=

1

2

（AE+BF）=2.5，
∴GH=OH-OG=4.5-2.5=2，
又∵OP=2，且

OP

PQ

=

OG

GH

，
∴

2

PQ

=

2.5

2

，
∴PQ=1.6，
∴S_△PCD=

1

2

PQ•CD=

1

2

×1.6×5=4．

点评：本题主要考查切线的性质及平行线分线段成比例、梯形的中位线等知识，确定出△PCD面积最小时的点P的位置是解题的关键．在求PQ的长时注意梯形中位线及线段成比例的应用．