Question

如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上的一点，且AE⊥BD的延长线交于E，又BD平分∠ABC，求证：AE=

1

2

BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AE，BC交于点F，易证∠EAD=∠CBD，即可求证△ACF≌△BCD，可得AF=BD，易证△ABE≌△FBE，可得AE=EF，即可解题．

解答：证明：延长AE，BC交于点F，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∠ADE=∠BDC
∴∠EAD=∠CBD，
∵在△ACF和△BCD中，

∠EAD=∠CBD AC=BC ∠ACF=∠BCD=90°

，
∴△ACF≌△BCD，（ASA）
∴AF=BD，
∵在△ABE和△FBE中，

∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB=90°

，
∴△ABE≌△FBE，（ASA）
∴AE=EF，即AE=

1

2

AF，
∴AE=

1

2

BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACF≌△BCD和△ABE≌△FBE是解题的关键．